Vamos aprender Matemática também?

A radiciação é a operação inversa da potenciação.

Radicais

1. RADICIAÇÃO

A radiciação é o processo contrário da potenciação. Observe os exemplos abaixo:

a) porque

b)  porque

 

Podemos generalizar os exemplos acima através da expressão abaixo:

 

 

Onde e são números reais e positivos e um número inteiro maior que :

 

Os elementos da raiz são assim definidos:

–> sinal do radical

–> índice do radical

–> radicando

–> raiz

 

Observação: não escrevemos o número quando o índice é .

 

Exemplo:

 

 

2. RAIZ DE UM NÚMERO REAL

Existem duas situações possíveis para encontrar uma raiz: ou o índice é par ou o índice é ímpar. Consideremos o radical e verifiquemos os casos seguintes:

2.1 Caso 1: índice par

Todo número real e positivo possui duas raízes se o índice for par. Observe o exemplo abaixo:

 

 

 

Em geral, convencionamos que o resultado da raiz deve ser único:

 

Atenção: nos índices pares, não há raiz real de um número negativo.

 

sem resposta porque não existe nenhum número real que elevado ao quadrado resulte em .

2.2 Caso 2: índice ímpar

Todo número real (positivo ou negativo) possui apenas uma raiz, se o índice for ímpar. Observe os exemplos abaixo:

a) porque

b) porque

 

Veja esse exercício maravilhoso que eu fiz!

https://youtu.be/0dbghwC9DMM

3. POTÊNCIA COM EXPOENTE FRACIONÁRIO

Observe o exemplo abaixo onde a potência possui um expoente na forma de fração.

 

É possível expressar o número acima na forma de raiz, utilizando o seguinte procedimento:

 

• o denominador se transforma no índice.
• o numerador é o expoente da base.

 

No exemplo acima, o denominador se transforma em índice e o numerador se transforma no expoente.

 

Em resumo: 

Podemos generalizar o exemplo acima da seguinte forma.

 

Se é um número real positivo e  é um número racional, com e inteiros e , definimos:

 

 

4. PROPRIEDADES DOS RADICAIS

Para os radicais de radicandos positivos valem as seguintes propriedades:

4.1 1ª Propriedade

Considere que o expoente da base e o índice são iguais. A raiz é a própria base. Observe os exemplos abaixo:

 

 

O número pode ser escrito como . O expoente de é que é igual ao índice (). Portanto, a resposta é a própria base ().

 

 

O número pode ser escrito como . O expoente de é que é igual ao índice (). Portanto, a resposta é a própria base ().

 

 

4.2 2ª Propriedade

Dois números que se multiplicam dentro da raiz vira uma multiplicação das raízes dos números separadamente.

 

Repare que:

 

Porém, podemos separar os números e em duas raízes distintas. Lembrando que a operação matemática deve continuar sendo a multiplicação.

 

 

Portanto, as expressões   são equivalentes.

 

Podemos generalizar o exemplo acima:

O radical de um produto é igual ao produto dos radicais.

Assista essa questão maravilhosa que fiz!

https://youtu.be/JQvXLrBwSL4

4.3 3ª Propriedade

Dois números que se dividem dentro da raiz (uma fração) vira uma divisão das raízes dos números separadamente.

 

Repare que:

 

Porém, podemos separar os números e em duas raízes distintas. Lembrando que a operação matemática deve continuar sendo a divisão.

 

Portanto, as expressões são equivalentes.

 

Podemos generalizar o exemplo acima:

 

 

 

 

O radical de um quociente é igual ao quociente dos radicais.

 

5. SIMPLIFICAÇÃO DE RADICAIS

A simplificação de radicais é um recurso importante para escrever as expressões de forma mais simples e equivalente as originais. Estudaremos os três casos mais importantes.

 

5.1 1º caso

O índice e o expoente do radicando são divisíveis por um mesmo número (exceto zero).

 

Observe os exemplos abaixo onde aplicaremos uma das propriedades já estudadas.

 

 

Portanto, as expressões são equivalentes. Repare que ambos os índices ( e ) são divisíveis pelo mesmo número ().

 

Concluímos que um radical não se altera quando o expoente do radicando e o índice do radical são divididos pelo mesmo número.

 

5.2 2º caso

O expoente do radicando é um múltiplo de índice. Basta dividir o expoente da base pelo índice. Observe os dois exemplos abaixo:

a)  (dividimos por )

b)  (dividimos por )

Assista esse exercício resolvido!

https://youtu.be/Hvp5f-_bX7U

5.3 3º caso

O expoente do radicando é maior do que o índice. Neste caso, é necessário decompor o radicando de tal forma que um dos expoentes seja múltiplo do índice.

 

No exemplo abaixo, sabemos que não é possível dividir o expoente pelo índice . Portanto, decompomos x¹¹ para x¹⁰ . x¹, pois o expoente é divisível pelo índice e pode ser retirado do radicando.

 

 

E para terminar, assista essa exercício resolvido de concurso!

https://youtu.be/KMiGTgqsB5s

Mais ferramentas de aprendizagem:

1 – Meu canal no Youtube:

2 – 7 lições do filme Harry Potter para você se tornar um estudante vencedor

3 – A importância da videoaulas

 

Um grande abraço do BF!