Matemática – Racionalização de denominadores
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1. FATOR RACIONALIZANTE
Uma expressão com radical é chamada de fator racionalizante de outra quando o produto delas é uma expressão sem radical. Observe o exemplo abaixo:
Qual o fator racionalizante de \(\sqrt{3}\)?
Devemos encontrar um número que ao multiplicar \(\sqrt{3}\) se transforme em um número puro (sem o radical). A ideia geral é que escolher um radical tal que a soma dos expoentes é igual ao índice.
O fator racionalizante de \(\sqrt{3}\) é \(\sqrt{3}\).
Repare que \(3^{1}.3^{1}=3^{1+1}=3^{2}\)
\(\sqrt{3}.\sqrt{3}=\sqrt{3^{2}}=3\)
Exemplo:
Descubra os fatores racionalizante a seguir.
\(8\sqrt{4}\)O fator racionalizante de \(8\sqrt{4}\)
é \(\sqrt{4}\).
\(8\sqrt{4}.\sqrt{4} = 8\sqrt{4^{2}} = 8.4=32 \)
Veja esse exercício bem legal que eu fiz para você!
https://youtu.be/qK0iWisl6To
2. RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES
Racionalizar um denominador de uma fração é eliminar o radical do denominador. Para isso, utilizamos uma propriedade conhecida: uma fração não se altera quando o numerador e o denominador são multiplicados por um mesmo número, diferente de zero.
Caso 1 – o denominador é um radical de índice 2
No exemplo abaixo, o denominador é \(\sqrt{3}\). Multiplicamos “em cima” e “em baixo” pelo mesmo radical. Sobra apenas o número 3 no denominador.
\(\frac{5}{\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}.\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3^{2}}}=\frac{5\sqrt{3}}{3} \)Caso 2 – o denominador é um radical com índice diferente de 2
Exemplo:
\(\frac{7}{\sqrt[5]{6^{3}}}=\frac{7\sqrt[5]{6^{3}}}{\sqrt[5]{6^{3}}.\sqrt[5]{6^{2}}}=\frac{7\sqrt[5]{36}}{\sqrt[5]{6^{5}}}=\frac{7\sqrt[5]{36}}{6} \)Caso 3: O denominador é uma soma ou diferença de dois termos, sendo pelo menos um dos termos um radical
Exemplo:
\( \frac{4}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}=\frac{4\left ( \sqrt{5}-\sqrt{2} \right )}{\left ( \sqrt{5}+\sqrt{2} \right ).\left ( \sqrt{5}-\sqrt{2} \right )} \) \( =\frac{4\left ( \sqrt{5}-\sqrt{2} \right )}{\sqrt{5}^{2}-{\sqrt{2}^{2}}} \) \( =\frac{4\left ( \sqrt{5}-\sqrt{2} \right )}{5-2}=\frac{4\left ( \sqrt{5}-\sqrt{2} \right )}{3} \)Veja esse exercício bem legal que eu fiz para você!
https://youtu.be/QrLcrKE-vHs
E mais esse!
https://youtu.be/hD7OrlFSd8g