1. MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (MHS)

O movimento harmônico simples é um movimento que se repete ao longo do tempo (periódico). Considere um sistema (oscilador harmônico) formado por um bloco (massa m) preso a uma mola (constante elástica k) que pode deslizar sob uma superfície sem atrito. Na posição de relaxamento (x = 0), o sistema encontra-se em equilíbrio.

Se a mola é esticada ou comprimida, o sistema é posto a oscilar em movimento harmônico simples. Podemos definir algumas grandezas relacionadas a todo movimento periódico.

• Período (T): tempo para completar uma oscilação.
• Frequência (f): número de oscilações em um intervalo de tempo.

A relação entre eles é:

\(f = \frac{1}{T}\)

A máxima elongação ou compressão sofrida pela mola é chamada de amplitude (A) do MHS. A trajetória retilínea do corpo é orientada e o ponto O é a origem do movimento. Os pontos A (x = +a) e B (x = -a) representam a amplitude do movimento.

A força elástica possui duas funções. Acelerar o corpo quando ele atinge as extremidades e frear o corpo depois que ele passa da posição de equilíbrio em direção as extremidades.

Esse tipo de força que atua para trazer o corpo de volta a posição de equilíbrio é chamada de força restauradora.

A velocidade é nula nas extremidades.

2. ACELERAÇÃO NO MHS

A aceleração pode ser expressa como:

\(a\; = \; – k.\frac{x}{m}\)

Repare que a aceleração depende de três fatores:

• Mola (k): quanto mais dura a mola, maior a aceleração que ela proporciona ao corpo.
• Massa (m): quanto mais pesado for o corpo, menor será a sua aceleração.
• Posição (x): quanto mais afastado da posição de equilíbrio, maior será a aceleração.

Repare dois pontos importantes:

• Velocidade máxima: ocorre no ponto de equilíbrio.
• Velocidade nula: nas extremidades.
• Aceleração máxima: nas extremidades.
• Aceleração nula: ocorre no ponto de equilíbrio.

3. ENERGIA MECÂNICA NO MHS

Existem dois tipos de energia no MHS: a energia cinética (associada a velocidade do corpo) e a energia potencial elástica (associada a mola, neste exemplo).

A energia mecânica (somatório da energia cinética e potencial) permanece constante durante o movimento.

\({E_{mec}} = \frac{{k{x^2}}}{2} + \;\frac{{mv_{}^2}}{2}\)

Vamos analisar um caso especial: quando o corpo atinge a extremidade, a sua velocidade é nula (v = 0) e a posição é A ou -A. Substituindo esses valores na equação acima, temos:

\({E_{mec}} = \frac{{k{A^2}}}{2}\)

Como a energia mecânica se conserva essa fórmula permite o cálculo da energia mecânica em função da amplitude do movimento.

O diagrama das energias é representado por:

4. RELAÇÃO ENTRE MHS E O MCU

Podemos relacionar o movimento harmônico simples e o movimento circular. Observe a figura abaixo, onde uma partícula executa um movimento circular e parte do ponto P.

As projeções na reta horizontal das posições da partícula no movimento circular forma um MHS. O raio da trajetória circular é a amplitude do movimento (R = A).

As equações do movimento uniforme podem ser usadas para estudar o MHS.

Equações do MCU
Velocidade angular (ω)	\(\omega \; = \;2\pi /T\) ou \(\omega \; = \;2\pi f\)
Aceleração centrípeta (acp)	\({a_{CP}} = \;{\omega ^2}R\)
Posição angular (θ)	\(\theta \; = \;{\theta _0}\; + \;\omega .t\)
Velocidade linear (v)	\(v\; = \;\omega R\)

5. FUNÇÕES HORÁRIAS

É possível demonstrar que as funções horárias da posição (x), da velocidade (v) e da aceleração (a) no MHS são dadas pelas equações abaixo.

\(x = Acos\left( {\omega t + {\theta _0}} \right)\)

\(v = – \omega Asen\left( {\omega t + {\theta _0}} \right)\)

\(a = – {\omega ^2}Acos\left( {\omega t + {\theta _0}} \right)\)

6. O PERÍODO NO MHS

O período vale:

\(T = 2\pi \sqrt {\frac{m}{k}} \)

7. PÊNDULO SIMPLES

O pêndulo simples é formado por um corpo de m preso a uma extremidade fio inextensível e de peso desprezível. Se retirados da posição de equilíbrio, o sistema oscila em movimento harmônico simples. O pêndulo simples ideal realiza oscilações no vácuo com ângulo máximo de 15˚.

Repare que a força restaurada é a componente P´ da força peso.

É possível mostrar que o período do pêndulo simples é dada pela expressão abaixo.

\(T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} \)