1. LEI DAS ÓRBITAS OU PRIMEIRA LEI DE KEPLER

O modelo de mundos Aristotélico afirma que a Terra se encontra no centro do Universo e os planetas e o Sol giram em torno da Terra, executando um movimento circular. Podemos entender o círculo como uma elipse onde os seus dois focos coincidem.

Nicolas Copérnico propôs, no século XVI, que a Terra e os demais planetas giravam em órbita circular em torno do Sol. O modelo de Copérnico, apesar de descrever quase que corretamente o movimento dos planetas, apresentava discrepâncias, principalmente com a órbita de Marte, descrita com precisão apenas com as observações de Kepler.

Kepler concluiu através das suas observações, que as órbitas dos planetas em torno do Sol não eram círculos, mas sim, elipses.

A elipse possui dois focos F₁ e F₂. O Sol está posicionado em um dos focos. A excentricidade (e) é um parâmetro que informa o quanto uma elipse é achatada. Os valores da excentricidade variam entre 0 e 1. A excentricidade é zero para um círculo.

A órbita de Mercúrio é a que apresenta maior excentricidade (e = 0,206) e a de Vênus, a de menor excentricidade (e = 0,007). As órbitas da Terra (e = 0,017), de Netuno (e = 0,009) e de Vênus são praticamente circunferências.

A primeira Lei de Kepler é descrita como:

Os planetas descrevem órbitas elípticas ao redor do Sol que está posicionado em um dos focos da elipse.

2. LEI DAS ÁREAS OU SEGUNDA LEI DE KEPLER

Observe a figura abaixo: um planeta se desloca da posição 1 para a 2 em um certo intervalo de tempo t. Posteriormente, se desloca da posição 3 para a 4 em um mesmo intervalo de tempo.

Tracemos uma reta ligando o centro da Terra ao centro do Sol. Essa distância é o raio da órbita. Como essa distância varia, calcularemos uma média, que é conhecida como raio médio (R) da órbita.

A área A₁ varrida entre os pontos 1 e 2 é a mesma área A₂ entre os pontos 3 e 4. Podemos resumir a Segunda Lei de Kepler, também conhecida como Lei das Áreas.

Os planetas percorrem áreas iguais da sua órbita em intervalos de tempos iguais.

Da Segunda Lei de Kepler, a velocidade de um planeta em órbita não é constante. No ponto onde a distância do planeta ao Sol é mínima (periélio), a velocidade é máxima e no ponto onde a distância é máxima (afélio), a velocidade do planeta é mínima.

3. LEI DOS PERÍODOS OU TERCEIRA LEI DE KEPLER

A terceira lei de Kepler foi deduzida através da coleta de dados durante muitos anos, tanto de Tycho Brahe, quando de Kepler. Essa lei foi deduzida matematicamente por Newton, mais tarde.

Considere a distância média entre o planeta e o Sol, que chamaremos de R. O tempo que o planeta leva para dar uma volta em torno do Sol é o período (T).

Kepler observou que para qualquer planeta, a razão entre o cubo do raio R e o quadrado do período T é aproximadamente uma constante.

\(\frac{{{R^3}}}{{{T^2}}} = k\)

Essa lei é tão poderosa que funciona para qualquer corpo celeste que gira em torno de outro: um satélite em torno da Terra, uma estrela orbitando o centro de uma galáxia, um corpo que gira em torno de um buraco negro, etc.

4. ATRAÇÃO GRAVITACIONAL

Newton propôs que dois corpos de massa m, separados por uma distância d em relação aos seus centros, se atraem mutuamente com uma força que é inversamente proporcional ao quadrado da distância e diretamente proporcional as massas dos corpos.

\(F = \frac{{GMm}}{{{d^2}}}\)

Onde M e m são as massas dos corpos envolvidos; d é a distância que separa os centros dos dois corpos e G é a constante da gravitação universal.

G = 6,67.10^-11 N.m²/kg².

Para corpos com massa pequenas, como exemplo, uma caneta e um caderno, essa força é muito pequena. Por isso, a caneta não orbita em torno do caderno! Pelo menos, uma das massas deve ser suficientemente grande para que a força gravitacional tem uma intensidade relevante.

5. A ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE

\(g = \frac{{GM}}{{{R^2}}}\)

A aceleração da gravidade na superfície da Terra vale:

\(g = \frac{{GM}}{{{R^2}}} = \frac{{{{6,67.10}^{ – 11}}{{.5,97.10}^{24}}}}{{{{\left( {{{6,4.10}^6}} \right)}^2}}}\)

\(g = 9,72\frac{m}{{{s^2}}}\)

Vamos analisar essa expressão:

• A aceleração da gravidade depende apenas da massa da Terra M.
• Quanto maior a massa do planeta (o raio deve ser o mesmo), maior a aceleração da gravidade.
• Quanto maior a distância do corpo ao centro do planeta, menor a aceleração da gravidade.

A tabela abaixo mostra a variação da aceleração da gravidade em função da altura em relação a superfície da Terra.

h(m)	g (m/s2)
0	9,85966
100	9,85935
500	9,85811
1.000	9,85656
5.000	9,84420
100.000	9,55728

6. A VELOCIDADE DE ESCAPE

Isaac Newton previu nos Principia que se a velocidade de lançamento de um objeto aumentasse, ele tocaria a Terra em pontos cada vez mais distantes. A partir de uma certa velocidade (denominada velocidade de escape), o corpo entraria em órbita.

Aa velocidade de escape é a velocidade mínima necessária para que um corpo entre em órbita e pode ser calculada pela expressão abaixo.

\({v_{ESCAPE}} = \sqrt {\frac{{2GM}}{R}} \)

onde M é a massa do planeta e R o seu raio.

Repare que a velocidade de escape não depende da massa do corpo, apenas da massa e do raio do planeta.

A tabela abaixo mostra a velocidade de escape para os planetas do Sistema Solar.

Planeta	vESCAPE (km/s)
Mercúrio	4,20
Vênus	10,30
Terra	11,23
Marte	5,0
Júpiter	60,50
Saturno	35,20
Urano	21,70
Netuno	24,00

7. VELOCIDADE DE UM SATÉLITE EM ÓRBITA

Os satélites são máquinas construídas pelo homem que são usados nas telecomunicações, espionagem e monitoramento de certas áreas.

Um foguete é lançado juntamente com o satélite. Durante o primeiro e o segundo estágio, partes dos foguetes são liberadas e caem no mar.

A trajetória do satélite inclina constantemente para que ele adquira a componente horizontal da velocidade necessária para entrar em órbita.

Quando entra em órbita, a única força que age sobre o satélite é a força gravitacional, que é a responsável pela força centrípeta.

\({F_{GRAV}} = {F_{CP}}\)

\(\frac{{GMm}}{{{d^2}}} = \frac{{m{v^2}}}{d}\)

\(v = \sqrt {\frac{{GM}}{d}} \)

A velocidade de um satélite em órbita não depende da sua massa, apenas da distância ao centro da Terra (d).